New PDF release: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie:

By Winfried Kaballo

ISBN-10: 3642377939

ISBN-13: 9783642377938

ISBN-10: 3642377947

ISBN-13: 9783642377945

In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatortheorie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs.

Ausgehend von Fragen zu partiellen Differenzialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen: Distributionen, Fourier-Transformation, Sobolev-Räume, Dualitätstheorie im Rahmen lokalkonvexer Räume, topologische Tensorprodukte, exakte Sequenzen, Banachalgebren, Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle sowie selbstadjungierte Operatoren und ihre Rolle in der Quantenmechanik.

Das Buch ist ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch Abbildungen und viele Beispiele illustriert. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben (mit Lösungen auf der site zum Buch) können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln.

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Dann gibt es genau einen Vektor y ∈ H mit η(x) = x|y f¨ ur x ∈ H und y = η . Weitere Prinzipien der Funktionalanalysis beruhen auf dem Satz von Baire. Zu seiner Formulierung verwendet man Bairesche Kategorien. Es sei M ein topologischer Raum. a) Eine Menge A ⊆ M heißt nirgends dicht, falls das Innere des Abschlusses von A ◦ leer ist, also A = int (A) = ∅ gilt. b) Eine abz¨ ahlbare Vereinigung nirgends dichter Teilmengen von M heißt mager oder von erster Kategorie. Teilmengen und abz¨ ahlbare Vereinigungen magerer Mengen sind offenbar wieder mager.

Nach (6) ist 2ε ∂ α η(x) = (∂ α ρε ∗ χK2ε )(x) = K2ε ∂xα ρε (x − y) dy (11) f¨ ur x ∈ Rn . Man hat ∂xα ρε (x − y) und aus (11) folgt mit z = x−y ε | ∂ α η(x) | ≤ ε−| α | ε−n Rn Wegen supp η = ε−n ε−| α | (∂ α ρ)( x−y ε ), −| α | | (∂ α ρ)( x−y ε ) | dy = ε Ω folgt daraus die Behauptung (10). Rn | (∂ α ρ)(z) | dz . 20 verwendet. 7 F¨ ur m ∈ N0 ∪ {∞} liegt der Raum D (Ω) der Testfunktionen dicht im Fr´ echetraum C m (Ω) . Beweis. F¨ ur f ∈ C m (Ω) und eine kompakte Menge K ⊆ Ω w¨ ahlen wir η ∈ D (Ω) mit η(x) = 1 f¨ ur x ∈ K und erhalten pK,j (f − f · η) = 0 f¨ ur alle j ∈ N0 mit j ≤ m .

Abb. 6. b) Bedingung (37) gilt auch, wenn supp u in einem abgeschlossenen Halbraum H ⊆ Rn und supp v in einem echt in H enthaltenen Kegel enthalten ist, vgl. 24. Im Fall n = 1 gen¨ ugt die Bedingung supp u, supp v ⊆ [0, ∞) , vgl. Abb. 6. 18 F¨ ur die beiden Distributionen u, v ∈ D (Rn ) gelte die Streifenbedingung (37). Dann ist u ∗ v = v ∗ u , und man hat ∂ α (u ∗ v) = ∂ α u ∗ v = u ∗ ∂ α v , α ∈ Nn 0 , supp(u ∗ v) ⊆ supp u + supp v . (40) (41) Weiter gilt δ ∗ u = u f¨ ur alle u ∈ D (Rn ) . at der Faltung ist klar aufgrund von (38) oder (39).

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by Kenneth
4.5

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