Marco Abate, Francesca Tovena's Curve e superfici (UNITEXT La Matematica per il 3+2) PDF

By Marco Abate, Francesca Tovena

ISBN-10: 8847005353

ISBN-13: 9788847005358

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Vivere in un place of abode according to uomini divorziati e depressi non è quello che Drew Silver si aspettava dalla vita. Nell'edificio grigio, con stanze dall'arredamento tutto uguale, aleggia una patetica solidarietà maschile. Drew passa le sue giornate tra le anonime - ma ben pagate - donazioni alla banca del seme e le innumerevoli bevute di birra con gli amici.

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F 3 (iii) Se f (x, y) = x4 + y 4 − xy − 1 e p = (1, 0), calcola la curvatura orientata di C in p. Soluzione. (i) Consideriamo la parametrizzazione σ(t) = t, g(t) . Il vettore tangente `e parallelo a σ ′ (t0 ) = 1, g ′ (t0 ) . 18) e dunque g ′ (t0 ) = − fx (p) . fy (p) La tesi segue immediatamente. 1 ci dice che κ ˜= fy3 (p)g ′′ (t0 ) . 18) e valutiamo in t0 , ottenendo che fxx (p) + fxy (p) g ′ (t0 ) + [fyx (p) + fyy (p) g ′ (t0 )] g ′ (t0 ) + fy (p) g ′′ (t0 ) ≡ 0 . 19) ricaviamo la formula cercata.

9. Siano f : R2 → R una funzione C ∞ , e scegliamo un punto p ∈ f −1 (0) = C, con fy (p) = 0, dove in questo problema porremo fx = ∂f /∂x, fy = ∂f /∂y, fxx = ∂ 2 f /∂x2 , e cos`ı via. 18. Infine, scegliamo t0 ∈ I tale che p = t0 , g(t0 ) . (i) Mostra che il vettore tangente a C in p `e parallelo a fy (p), −fx (p) , per cui il vettore ∇f (p) = fx (p), fy (p) `e ortogonale al vettore tangente. (ii) Dimostra che la curvatura orientata in p di C `e data da κ ˜=− fxx fy2 − 2fxy fx fy + fyy fx2 . ∇f 3 (iii) Se f (x, y) = x4 + y 4 − xy − 1 e p = (1, 0), calcola la curvatura orientata di C in p.

14) ci danno σ ¨ = κn con κ > 0 sempre, ne deduciamo che κ `e la curvatura e n il versore normale di σ (che risulta quindi biregolare). 14), τ `e la torsione di σ, come voluto. Vediamo ora l’unicit` a. Sia σ1 : I → R3 un’altra curva di classe C k+3 biregolare parametrizzata rispetto alla lunghezza d’arco con curvatura κ e torsione τ . Fissiamo s0 ∈ I; a meno di un movimento rigido possiamo supporre σ(s0 ) = σ1 (s0 ) e che σ e σ1 abbiano lo stesso riferimento di Frenet in s0 . 14) segue che σ e σ1 hanno lo stesso riferimento di Frenet in tutti i punti di I; in particolare, σ˙ ≡ σ˙ 1 .

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Curve e superfici (UNITEXT La Matematica per il 3+2) by Marco Abate, Francesca Tovena


by Thomas
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